Kesirler konusuna başlayan öğrencilerin ilk öğrendiği kesir türü birim kesirdir. Tanımı tek cümleye sığar; yine de paydası büyüyen kesrin küçüldüğünü kavramak çoğu öğrenci için ilk zorluktur. Aşağıdaki rehber, konuyu en temel düzeyden başlayarak adım adım ele alıyor.
KISACA BİRİM KESİR
- Birim kesir nedir? Bir bütünün eş parçalarından birini gösteren, payı 1 olan kesirdir.
- Örnekleri nelerdir? 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/10 ve 1/100 birer birim kesirdir.
- Nasıl bulunur? Kesrin paydası aynı bırakılır, payına 1 yazılır. 3/8’in birim kesri 1/8’dir.
- Nasıl sıralanır? Paydası küçük olan birim kesir daha büyüktür: 1/2 > 1/3 > 1/4.
- Kaçıncı sınıf konusu? İlkokul 3. sınıfta başlar, 4. ve 5. sınıfta genişler.
BİRİM KESİR NEDİR?
Bir bütün eş parçalara ayrıldığında, bu parçalardan her birini gösteren kesre birim kesir denir. Birim kesrin payı her zaman 1’dir. Paydası ise bütünün kaç eş parçaya ayrıldığını bildirir.
Bir pizzayı 8 eş dilime kestiğinizi düşünün. Her dilim pizzanın sekizde biridir ve 1/8 biçiminde yazılır. 1/8 bir birim kesirdir.
Adındaki “birim” sözcüğü tesadüf değildir. Uzunluğu santimetreyle, ağırlığı gramla ölçtüğümüz gibi kesirleri de birim kesirle sayarız. 3/8 kesri, üç tane 1/8’in bir araya gelmesidir; 5/8 ise beş tane 1/8’dir. Bu yüzden her kesir, kendi birim kesrinin katı olarak düşünülebilir.
PAY VE PAYDA NE ANLAMA GELİR?
Bir kesirde üç öge bulunur:
- Payda: Kesir çizgisinin altındaki sayıdır. Bütünün kaç eş parçaya ayrıldığını gösterir.
- Pay: Kesir çizgisinin üstündeki sayıdır. Bu parçalardan kaç tanesinin alındığını gösterir.
- Kesir çizgisi: Pay ile paydayı ayırır ve bölme anlamı taşır.
Birim kesirde pay 1 olduğundan tek bir parçadan söz edilir. Burada kilit sözcük “eş”tir: Parçalar aynı büyüklükte değilse o parçalardan biri birim kesirle gösterilemez. Bir ekmeği gelişigüzel üçe bölmek, her parçayı 1/3 yapmaz.
BİRİM KESİR NASIL BULUNUR?
Bu soru derslerde üç farklı biçimde karşınıza çıkar.
- 1. Bir kesrin birim kesir olup olmadığını anlama: Yalnızca paya bakılır. Pay 1 ise kesir birim kesirdir. 1/6 birim kesirdir; 5/6 değildir.
- 2. Verilen bir kesrin birim kesrini bulma: Payda değiştirilmez, paya 1 yazılır. 4/7 kesrinin birim kesri 1/7’dir, çünkü 4/7 dört tane 1/7’den oluşur. Aynı yolla 5/9’un birim kesri 1/9, 11/20’nin birim kesri 1/20’dir.
- 3. Şekilden birim kesri bulma: Şekildeki eş parçalar sayılır ve bu sayı paydaya yazılır. Tek bir parça sorulduğu için paya 1 yazılır. 6 eş parçaya ayrılmış bir dikdörtgenin her parçası 1/6’dır.
Bir ayrıntı sınavlarda sık sorulur: 2/4 kesri 1/2’ye denktir, yine de yazıldığı hâliyle birim kesir sayılmaz. Payı 2’dir ve birim kesri 1/4’tür.
BİRİM KESİR NASIL GÖSTERİLİR?
Birim kesirler rakamla, yazıyla, şekille ve sayı doğrusuyla gösterilebilir.
YAZILIŞI VE OKUNUŞU
Önce payda, ardından pay okunur. 1/4 “dörtte bir” diye okunur; “bir bölü dört” okunuşu da doğrudur.
- 1/2: İkide bir (yarım), 2 eş parçadan 1’i
- 1/3: Üçte bir, 3 eş parçadan 1’i
- 1/4: Dörtte bir (çeyrek), 4 eş parçadan 1’i
- 1/8: Sekizde bir, 8 eş parçadan 1’i
- 1/10: Onda bir, 10 eş parçadan 1’i
- 1/100: Yüzde bir, 100 eş parçadan 1’i
ŞEKİL ÜZERİNDE GÖSTERME
Daire, kare ya da dikdörtgen şerit gibi bir şekil, paydadaki sayı kadar eş parçaya bölünür ve parçalardan biri boyanır. 1/5’i göstermek için bir şerit 5 eş parçaya ayrılır, tek parça taranır. Boyalı bölüm 1/5’i, boyanmayan bölüm ise dört tane 1/5’i, yani 4/5’i gösterir.
SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERME
Birim kesirler sayı doğrusunda 0 ile 1 arasında yer alır. 0 ile 1 arası, paydadaki sayı kadar eş aralığa bölünür; 0’dan sonraki ilk nokta birim kesrin yeridir. 1/4 için aralık 4 eş parçaya ayrılır:
0 1/4 2/4 3/4 1
|——-|——-|——-|——-|
birim kesir (0'dan sonraki ilk nokta)
Aynı doğruda ikinci nokta iki tane 1/4’ü (2/4), üçüncü nokta üç tane 1/4’ü (3/4) gösterir.
BİR ÇOKLUK ÜZERİNDE GÖSTERME
Bütün her zaman tek bir nesne olmaz; bir grup nesne de bütün kabul edilebilir. 12 bilye 3 eş gruba ayrıldığında her grupta 4 bilye bulunur. Bu 4 bilye, 12 bilyenin 1/3’üdür.
BİRİM KESİR ÖRNEKLERİ
Günlük hayatta birim kesirler sanıldığından sık kullanılır:
- Yarım ekmek, ekmeğin 1/2’sidir; çeyrek ekmek 1/4’üdür.
- Çeyrek saat 15 dakikadır, yani bir saatin 1/4’üdür.
- Haftanın bir günü, haftanın 1/7’sidir.
- Bir ay, yılın 1/12’sidir.
- 1 kuruş, 1 liranın 1/100’üdür.
- 1 santimetre, 1 metrenin 1/100’üdür.
- Bir futbol maçının ilk yarısı, normal sürenin 1/2’sidir.
Bir kesrin birim kesir olup olmadığına şöyle karar verilir:
- 1/9: Birim kesirdir, çünkü payı 1’dir.
- 1/250: Birim kesirdir. Payda ne kadar büyük olursa olsun payı 1’dir.
- 3/9: Birim kesir değildir. Payı 3’tür; birim kesri 1/9’dur.
- 7/7: Birim kesir değildir. Payı 7’dir ve bütüne eşittir.
- 2 1/3: Birim kesir değildir; tam sayılı kesirdir.
BİRİM KESİRLER NASIL SIRALANIR?
Birim kesirlerin payları eşit olduğundan sıralama yapılırken yalnızca paydaya bakılır. Kural şudur: Paydası küçük olan birim kesir daha büyüktür; payda büyüdükçe kesir küçülür.
Nedeni parça büyüklüğüdür. Aynı pizzayı 4 kişi paylaşırsa herkese 1/4, 8 kişi paylaşırsa herkese 1/8 düşer. Kişi sayısı arttıkça dilim küçülür. Bu yüzden 1/4 > 1/8’dir.
1/2 > 1/3 > 1/4 > 1/5 > 1/6 > 1/10 > 1/100
Örnek: 1/9, 1/3, 1/12 ve 1/6 kesirlerini küçükten büyüğe sıralayalım. Paydalar büyükten küçüğe 12, 9, 6, 3 biçiminde dizilir. Sıralama 1/12 < 1/9 < 1/6 < 1/3 olur.
Sayı doğrusu da aynı sonucu verir: Sıfıra yakın olan birim kesir daha küçüktür.
Karşılaştırma yapılırken bütünlerin aynı olması gerekir. Büyük boy bir pizzanın 1/4’ü, küçük boy bir pizzanın 1/2’sinden fazla olabilir. Kesirleri karşılaştıran sorularda aksi belirtilmedikçe bütünler eş kabul edilir.
BİRİM KESİR İLE BASİT, BİLEŞİK VE TAM SAYILI KESİR ARASINDAKİ FARK
Kesir türleri, pay ile payda arasındaki ilişkiye göre birbirinden ayrılır:
- Birim kesir: Payı 1’dir. Örnek: 1/5
- Basit kesir: Payı paydasından küçüktür. Örnek: 3/5
- Bileşik kesir: Payı paydasına eşit ya da paydasından büyüktür. Örnek: 5/5 ve 7/5
- Tam sayılı kesir: Bir doğal sayı ile bir basit kesirden oluşur. Örnek: 1 2/5
HER BİRİM KESİR BASİT KESİR MİDİR?
Evet. Paydası 2 ya da daha büyük olan her birim kesrin payı paydasından küçüktür; dolayısıyla basit kesirdir ve 1’den küçüktür. Tersi doğru değildir: 3/5 basit kesirdir ama birim kesir değildir.
BİRİM KESİRLERLE İŞLEMLER
Bir kesri birim kesirlerin toplamı olarak yazma: 3/5 = 1/5 + 1/5 + 1/5. Bileşik kesirler de aynı man: 7/4, yedi tane 1/4’tür ve 1 tam 3/4’e eşittir.
Paydaları eşit birim kesirleri toplama: Paylar toplanır, payda aynı kalır. 1/6 + 1/6 = 2/6.
Bir çokluğun birim kesir kadarını bulma: Çokluk paydaya bölünür. 24’ün 1/4’ü için 24 ÷ 4 = 6 bulunur.
Birim kesir kadarı verilen çokluğun tamamını bulma: Verilen sayı paydayla çarpılır. 1/5’i 8 olan sayı 8 × 5 = 40’tır.
Birim kesirden yararlanarak basit kesir kadarını bulma: 30’un 2/5’i sorulduğunda önce 1/5’i hesaplanır: 30 ÷ 5 = 6. İki tane 1/5 istendiği için 6 × 2 = 12 bulunur.
Paydaları farklı birim kesirleri toplama: Üst sınıflarda öğretilen bu işlemde önce paydalar eşitlenir. 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
BİRİM KESİR HANGİ SINIFTA ÖĞRENİLİR?
Öğrenciler yarım ve çeyrek kavramlarıyla ilkokulun ilk yıllarında tanışır. Millî Eğitim Bakanlığının Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli kapsamındaki matematik programında birim kesir kavramı 3. sınıfta yer alır; bu düzeyde bir bütünün eş parçalara ayrılması ve her parçanın bütünle ilişkisi üzerinde durulur. 4. sınıfta basit, bileşik ve tam sayılı kesirler öğretilir, birim kesirler ile paydaları eşit kesirler karşılaştırılır. 5. sınıfta kesirlerin farklı gösterimleri ve karşılaştırılması yine birim kesir temel alınarak işlenir.
Bu nedenle “birim kesir nedir” sorusu 3, 4 ve 5. sınıf öğrencilerinin ortak sorusudur. Tanım her sınıfta aynıdır; sınıf yükseldikçe soruların düzeyi artar.
ÇÖZÜMLÜ BİRİM KESİR SORULARI
Soru 1: 1/7, 3/7, 1/15, 6/6 ve 2 1/4 kesirlerinden hangileri birim kesirdir?
Çözüm: Payı 1 olanlar seçilir. 1/7 ve 1/15 birim kesirdir. 2 1/4 tam sayılı kesir olduğu için birim kesir değildir.
Soru 2: 5/12 kesrinin birim kesri nedir? Bu kesir kaç tane birim kesirden oluşur?
Çözüm: Payda aynı kalır, paya 1 yazılır: 1/12. Kesrin payı 5 olduğundan 5/12, beş tane 1/12’den oluşur.
Soru 3: 1/8, 1/3, 1/10 ve 1/5 kesirlerini küçükten büyüğe sıralayınız.
Çözüm: Paydası en büyük olan kesir en küçüktür. 1/10 < 1/8 < 1/5 < 1/3.
Soru 4: Elif bir kitabın 1/6’sını, Kerem aynı kitabın 1/4’ünü okudu. Hangisi daha çok sayfa okumuştur?
Çözüm: 4, 6’dan küçük olduğu için 1/4 > 1/6’dır. Kerem daha çok sayfa okumuştur.
Soru 5: 36 cevizin 1/9’u kaç cevizdir?
Çözüm: 36 ÷ 9 = 4 ceviz.
Soru 6: Bir sınıftaki öğrencilerin 1/5’i 6 kişidir. Sınıfta kaç öğrenci vardır?
Çözüm: Beş eş gruptan biri 6 kişidir. 6 × 5 = 30 öğrenci.
Soru 7: Bir sayı doğrusunda 0 ile 1 arası 5 eş parçaya ayrılmıştır. 0’dan sonraki birinci ve üçüncü nokta hangi kesirleri gösterir?
Çözüm: Birinci nokta 1/5 birim kesridir. Üçüncü nokta üç tane 1/5’e, yani 3/5’e karşılık gelir.
Soru 8: 1/□ > 1/7 eşitsizliğinde □ yerine 1’den büyük hangi doğal sayılar yazılabilir?
Çözüm: Kesrin 1/7’den büyük olması için paydasının 7’den küçük olması gerekir. □ yerine 2, 3, 4, 5 ve 6 yazılabilir.
BİRİM KESİRLERDE SIK YAPILAN HATALAR
- Paydası büyük olan kesri büyük sanmak. Doğal sayılarda 8, 4’ten büyüktür; bu alışkanlıkla 1/8’in 1/4’ten büyük olduğu düşünülür. Oysa parça sayısı arttıkça her parça küçülür.
- Parçaların eş olması koşulunu atlamak. Eş olmayan parçalara bölünmüş bir şekilde tek parça birim kesir göstermez.
- Pay ile paydanın yerini karıştırmak. “Dörtte bir” ifadesi 4/1 olarak değil, 1/4 olarak yazılır.
- Farklı büyüklükteki bütünleri karşılaştırmak. 1/2 ile 1/4 ancak aynı bütüne aitse doğrudan karşılaştırılabilir.
TARİHTEN BİR NOT: MISIR KESİRLERİ
Birim kesirlerin geçmişi binlerce yıl öncesine uzanır. Eski Mısırlılar kesirleri, birkaç istisna dışında, paydaları farklı birim kesirlerin toplamı biçiminde yazardı. Örneğin 3/4 yerine 1/2 + 1/4 kullanılırdı. Yaklaşık 3.500 yıllık Rhind Papirüsü’nde bu yazımın tabloları bulunur. Matematikte bugün de farklı birim kesirlerin toplamı olarak yazılan ifadelere “Mısır kesri” denir.
